3.11 Property 11

  Inverse Trigonometric Function

    1.0 Introduction
    2.0 Inverse Trigonometric function
    3.0 Properties

---

3.11 Property 11\[\begin{gathered} (i)3{\sin ^{ - 1}}x = \left\{ \begin{gathered} {\sin ^{ - 1}}(3x - 4{x^3});\frac{{ - 1}}{2} \leqslant x \leqslant \frac{1}{2} \hspace{1em} \\ \pi - {\sin ^{ - 1}}(3x - 4{x^3});\frac{1}{2} \leqslant x \leqslant 1 \hspace{1em} \\ - \pi - {\sin ^{ - 1}}(3x - 4{x^3}); - 1 \leqslant x \leqslant \frac{{ - 1}}{2} \hspace{1em} \\ \end{gathered} \right\} \hspace{1em} \\ (ii)3{\cos ^{ - 1}}x = \left\{ \begin{gathered} {\cos ^{ - 1}}(4{x^3} - 3x);\frac{1}{2} \leqslant x \leqslant 1 \hspace{1em} \\ 2\pi - {\cos ^{ - 1}}(4{x^3} - 3x);\frac{{ - 1}}{2} \leqslant x \leqslant \frac{1}{2} \hspace{1em} \\ 2\pi + {\cos ^{ - 1}}(4{x^3} - 3x); - 1 \leqslant x \leqslant \frac{{ - 1}}{2} \hspace{1em} \\ \end{gathered} \right\} \hspace{1em} \\ (iii)3{\tan ^{ - 1}}x = \left\{ \begin{gathered} {\tan ^{ - 1}}\left( {\frac{{3x - {x^3}}}{{1 - 3{x^2}}}} \right);\frac{{ - 1}}{{\sqrt 3 }} \leqslant x \leqslant \frac{1}{{\sqrt 3 }} \hspace{1em} \\ \pi + {\tan ^{ - 1}}\left( {\frac{{3x - {x^3}}}{{1 - 3{x^2}}}} \right);x \geqslant \frac{1}{{\sqrt 3 }} \hspace{1em} \\ - \pi + {\tan ^{ - 1}}\left( {\frac{{3x - {x^3}}}{{1 - 3{x^2}}}} \right);x \leqslant \frac{{ - 1}}{{\sqrt 3 }} \hspace{1em} \\ \end{gathered} \right\} \hspace{1em} \\ \end{gathered} \]